Question

如圖，已知A（-3，0），B（0，-4）．點(diǎn)P為雙曲線y=

k

x

(x＞0，k＞0)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PO⊥y軸于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí)，求雙曲線的解析式；
（2）若點(diǎn)p為直線y=

3

4

x與（1）所求的雙曲線的交點(diǎn)，試判定此時(shí)四邊形ABCD的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí)，由菱形的軸對(duì)稱性可求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，又PC⊥x軸，PD⊥y軸，則P、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，P、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，可求P點(diǎn)坐標(biāo)，確定雙曲線解析式；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線解析式，求P點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷△OAD，△OBC為等腰直角三角形，從而確定四邊形ABCD的形狀．

解答：（1）解法一：∵四邊形ABCD為菱形，
∴OA=OC，OB=OD（1分）
可得點(diǎn)p的坐標(biāo)為P（3，4）（3分）
∴k=12，即雙曲線的解析式為y=

12

x

(x＞0，k＞0)（5分）
解法二：
由勾股定理可求得菱形的邊長(zhǎng)為5，所以求得點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)C（3，0）、D（0，4），
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為P（3，4），下同解（一）；

（2）依題意：聯(lián)立

y= 3 4 x y= 12 x

，
解得

x=4 y=3

（x＞0），
即P（4，3）（7分）
此時(shí)，OA=OD=3、OB=OC=4，△OAD，△OBC為等腰直角三角形，
∴AD∥BC，（9分）
又據(jù)勾股定理求得AB=CD=5．
所以四邊形ABCD為等腰梯形（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是通過(guò)坐標(biāo)系里圖形的軸對(duì)稱性，特殊三角形的性質(zhì)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，確定雙曲線的解析式．