Question

19．已知自然數(shù)m使二次根式$\sqrt{2m-6}$+$\sqrt{40-m}$有意義，關于x的方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0有兩個整數(shù)根，求m的值及方程的根．

Answer 1

分析 根據(jù)二次根式有意義的條件可得3≤m≤40，根據(jù)求根公式可知：x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=（2m-3）±$\sqrt{2m+1}$，根據(jù)3≤m≤40可知m的值為4或12或24或81，再把m值代入求解即可．

解答 解：∵二次根式$\sqrt{2m-6}$+$\sqrt{40-m}$有意義，
∴3≤m≤40，
解方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0，得x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=（2m-3）±$\sqrt{2m+1}$，
∵原方程有兩個不相等的整數(shù)根，
∴2m+1為完全平方數(shù)，
又∵m為整數(shù)，且3≤m≤40，2m+1為奇數(shù)完全平方數(shù)，
∴2m+1=9或25或49或81，解得m=4或12或24或40．
∴當m=4時，x=8-3±$\sqrt{2×4+1}$=5±3，x₁=8，x₂=2；
當m=12時，x=24-3±$\sqrt{2×12+1}$=21±5，x₁=26，x₂=16；
當m=24時，x=48-3±$\sqrt{2×24+1}$=45±7，x₁=52，x₂=38；
當m=40時，x=80-3±$\sqrt{2×40+1}$=77±9，x₁=86，x₂=68．

點評 本題考查了解一元二次方程的方法，求根公式法適用于任何一元二次方程．方程ax²+bx+c=0的解為x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$．要注意根據(jù)實際意義進行值的取舍．