Question

5．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（1，0）和B（3，0），交y軸于C（0，3），P是對稱軸上的動點，求△PAC周長的最小值．

Answer 1

分析 連接BC，交拋物線的對稱軸于點P，連接PA．先由勾股定理求得AC，BC的長，然后依據(jù)軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短可知PC+AP的最小值為BC，然后將△APC的最小值轉(zhuǎn)為BC+AC求解即可．

解答 解：連接BC，交拋物線的對稱軸于點P，連接PA．

在Rt△COB中，由勾股定理可知：BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，在Rt△COA中，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵點A與點B關(guān)于直線x=2，
∴AP=PB．
∴CP+AP=PC+PB．
由兩點之間線段最短可知：當(dāng)點C、P、B在一條直線上時，CP+AP有最小值，
∴CP+AP的最小值=BC=3$\sqrt{2}$．
∴△PAC周長的最小值=AC+BC=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，解答本題主要應(yīng)用了軸對稱圖形的性質(zhì)和勾股定理，明確當(dāng)C、P、B在一條直線上時，CP+AP有最小值時解題的關(guān)鍵．