Question

已知：如圖，BC是⊙O的弦，點(diǎn)A在⊙O上，AB=AC=10，sin∠ABC=

4

5

．
求：（1）弦BC的長(zhǎng)；（2）∠OBC的正切的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓心角定理，得出

AB

=

AC

，利用三角函數(shù)關(guān)系求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)⊙O的半徑OB=r，由OA=OB=r，得OD=8-r，利用勾股定理得出r的長(zhǎng)，從而求出∠OBC的正切的值．

解答：解：（1）連接AO，AO的延長(zhǎng)線與弦BC相交于點(diǎn)D．
在⊙O中，∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

．
又∵AD經(jīng)過圓心O，
∴AD⊥BC，BC=2BD．
在Rt△ABD中，AB=10，sin∠ABC=

4

5

，
∴AD=ABsin∠ABC=10×

4

5

=8．
于是，由勾股定理得：
BD=

AB2-AD2

=

102-82

=6．
∴BC=12．

（2）設(shè)⊙O的半徑OB=r．
在⊙O中，由OA=OB=r，得OD=8-r．
在Rt△OBD中，利用勾股定理，得BD²+OD²=OB²，
即得36+（8-r）²=r²．
解得r=

25

4

．
∴OB=

25

4

．
∴OD=8-

25

4

=

7

4

．
∴tan∠OBC=

OD

BD

=

7 4

6

=

7

24

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及三角函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，也是中考中熱點(diǎn)問題，做題過程中應(yīng)特別注意．