【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,AC是⊙O的直徑,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC,交DC的延長線于點E.
(1)求證:△ABC∽△DEB;
(2)求證:BE是⊙O的切線;
(3)求DE的長.
【答案】
(1)解:BDE=∠CAB(圓周角定理)且∠BED=∠CBA=90°,
∴△ABC∽△DEB;
(2)證明:連結OB,OD,
在△ABO和△DBO中,
,
∴△ABO≌△DBO(SSS),
∴∠DBO=∠ABO,
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,
∴∠DBO=∠BDC,
∴OB∥ED,
∵BE⊥ED,
∴EB⊥BO,
∴OB⊥BE,
∴BE是⊙O的切線.
(3)解:∵△BED∽△CBA,
∴ ,
即 = ,
解得:DE= .
【解析】(1)根據(jù)BDE=∠CAB(圓周角定理)且∠BED=∠CBA=90°即可得出結論;(2)連接OB,OD,證明△ABO≌△DBO,推出OB∥DE,繼而判斷OB⊥DE,可得出結論.(3)根據(jù)△BED∽△CBA,利用對應邊成比例的性質可求出DE的長度.
【考點精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點C、E分別為△ABD的邊BD、AB上兩點,且AE=AD,CE=CD,∠D=70゜,∠ECD=150゜,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E是CD上的一點,DE:EC=2:3,連接AE、BE、BD,且AE、BD交于點F,則S△DEF:S△EBF:S△ABF=( )
A.2:5:25
B.4:9:25
C.2:3:5
D.4:10:25
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后得到△EDC,此時點D落在AB邊上,斜邊DE交AC于點F,則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為( )
A. 30,2 B. 60,2 C. 60, D. 60,
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形,且只有標號為①和②的兩個小矩形為正方形.在滿足條件的所有分割中,若知道九個小矩形中n個小矩形的周長,就一定能算出這個在大矩形的面積,則n的最小值是 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的邊長AD=3,AB=2,E為AB的中點,F(xiàn)在邊BC上,且BF=2FC,AF分別與DE、DB相交于點M,N,則MN的長為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩工程隊承包一項工程,如果甲工程隊單獨施工,恰好如期完成;如果乙工程隊單獨施工就要超過6個月才能完成,現(xiàn)在甲、乙兩隊先共同施工4個月,剩下的由乙隊單獨施工,則恰好如期完成.
(1)問原來規(guī)定修好這條公路需多少長時間?
(2)現(xiàn)要求甲、乙兩個工程隊都參加這項工程,但由于受到施工場地條件限制,甲、乙兩工程隊不能同時施工.已知甲工程隊每月的施工費用為4萬元,乙工程隊每月的施工費用為2萬元.為了結算方便,要求:甲、乙的施工時間為整數(shù)個月,不超過15個月完成.當施工費用最低時,甲、乙各施工了多少個月?
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