Question

【題目】(8分)已知AB為⊙O的直徑，OC⊥AB，弦DC與OB交于點F，在直線AB上有一點E，連接ED，且有ED＝EF.

(1)如圖①，求證：ED為⊙O的切線；

(2)如圖②，直線ED與切線AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半徑為6，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）12

【解析】試題分析：（1）連接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由對頂角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，結合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此證出ED為⊙O的切線；

（2）連接OD，過點D作DM⊥BA于點M，結合（1）的結論根據(jù)勾股定理可求出ED、EO的長度，結合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的長度，根據(jù)切線的性質可知GA⊥EA，從而得出DM∥GA，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根據(jù)相似三角形的性質即可得出GA的長度

試題解析：解：（1）連接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED為⊙O的切線；

（2）連接OD，過點D作DM⊥BA于點M，由（1）可知△EDO為直角三角形，設ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=，cos∠EOD=，∴DM=ODsin∠EOD=6×=，MO=ODcos∠EOD=6×=，∴EM=EO﹣MO=10﹣=，EA=EO+OA=10+6=16．

∵GA切⊙O于點A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴ ，即 ，解得GA=12．