Question

4．如圖，設(shè)正△ABC的內(nèi)切圓⊙O與其三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，點(diǎn)P在$\widehat{EF}$上，它到三邊AB、BC、CA的距離分別為1、2、x，則x的值為2$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 如圖，連接AP，EP，F(xiàn)P，AD，分別作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，于是得到PK=1，PN=2，PM=x，根據(jù)等邊三角形和切線的性質(zhì)得到EF是△ABC的中位線，推出△AEF是等邊三角形，得到PH⊥EF，設(shè)AD交EF于G，則AG=DG=HM，根據(jù)三角形的面積得到PM=2PH+3，推出P，H，E，K四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得到∠PKH=∠PEH，∠PHK=∠PEK，同理P，H，F(xiàn)，N四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得到∠PHN=∠PFN，∠PNH=∠PFH推出△PKH∽△PHN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PH=$\sqrt{PN•PK}$=$\sqrt{2}$即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，連接AP，EP，F(xiàn)P，AD，分別作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，
則PK=1，PN=2，PM=x，
∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與其三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，
∴EF是△ABC的中位線，
∴△AEF是等邊三角形，AD⊥EF，
∴PH⊥EF，
設(shè)AD交EF于G，則AG=DG=HM，
∵S_△AEF=S_△PAE+S_△PEF+S_△PAF=$\frac{1}{2}$AG•EF，
∴$\frac{1}{2}$AE•PK+$\frac{1}{2}$EF•PH+$\frac{1}{2}$AF•PN=$\frac{1}{2}$AG•EF，
∴（PK+PH+PN）EF=AG•EF，
∴HM=AG=PK=PH+PN=PH+3，
∴PM=2PH+3，
∵PH⊥EF，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴P，H，E，K四點(diǎn)共圓，
∴∠PKH=∠PEH，∠PHK=∠PEK，
同理P，H，F(xiàn)，N四點(diǎn)共圓，
∴∠PHN=∠PFN，∠PNH=∠PFH，
∵AE，AF是⊙O的切線，
∴∠PEK=∠PFH，∠PFN=∠PEH，
∴∠PHK=∠PNH，∠PKH=∠PHN，
∴△PKH∽△PHN，
∴$\frac{PH}{PN}=\frac{PK}{PH}$，
即PH=$\sqrt{PN•PK}$=$\sqrt{2}$，
∴PM=2PH+3=2$\sqrt{2}$+3，
即x=2$\sqrt{2}$+3．
故答案為：2$\sqrt{2}$+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的中位線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．