Question

如圖，已知點(diǎn)A從（1，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長度/秒的速度沿x軸向正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)，A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使點(diǎn)B，C在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°；以P（0，3）為圓心，PC為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了t秒，當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中，⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切時(shí)，t=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,壓軸題

分析：⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切，則可與OC相切；或與OA相切；或與AB相切，應(yīng)分三種情況探討：①當(dāng)圓P與OC相切時(shí)，如圖1所示，由切線的性質(zhì)得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根據(jù)菱形的邊長相等得到OC=1+t，由∠AOC的度數(shù)求出∠POC為30°，在直角三角形POC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出cos30°=

OC

OP

，表示出OC，等于1+t列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②當(dāng)圓P與OA，即與x軸相切時(shí)，過P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三線合一得到E為OC的中點(diǎn)，OE為OC的一半，而OE=OPcos30°，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③當(dāng)圓P與AB所在的直線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，PF與OC交于點(diǎn)G，由切線的性質(zhì)得到PF垂直于AB，則PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用銳角三角函數(shù)定義由OC表示出CD，即為FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根據(jù)PF=PC，表示出PC，過C作CH垂直于y軸，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值．

解答：解：分三種情況考慮：
①當(dāng)⊙P與OC相切時(shí)（如圖1），切點(diǎn)為C，此時(shí)PC⊥OC，
∵OA=1+t，四邊形OABC為菱形，
∴OC=1+t，
∴OC=OPcos30°，
∴1+t=3•

3

2

，
∴t=

3 3

2

-1；
②當(dāng)⊙P與OA，即與x軸相切時(shí)（如圖2），切點(diǎn)為O，PC=OP=3，
過P作PE⊥OC于E，則OE=

1

2

OC，
∴

1+t

2

=OPcos30°=

3 3

2

，
∴t=3

3

-1；
③當(dāng)⊙P與AB所在直線相切時(shí)（如圖3），
設(shè)切點(diǎn)為F，PF交OC于G，則PF⊥OC，
∴FG=CD=（1+t）sin60°=

3

2

（1+t），
∴PC=PF=OPsin30°+

3

2

（1+t）=

3

2

+

3

2

（1+t），
過C作CH⊥y軸于H，
在Rt△PHC中，利用勾股定理得：PH²+CH²=PC²，
∴（

1+t

2

）²+（

3 (1+t)

2

-3）²=（

3

2

+

3 (1+t)

2

）²，
化簡得：（t+1）²-18

3

（t+1）+27=0，
解得：t+1=9

3

±6

6

，
∵t=9

3

-6

6

-1＜0，
∴t=9

3

+6

6

-1，
∴所求t的值為

3 3

2

-1或3

3

-1或9

3

+6

6

-1．
故答案為：

3 3

2

-1或3

3

-1或9

3

+6

6

-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，及勾股定理的運(yùn)用，利用了分類討論的思想，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)用．