Question

已知拋物線y=-x²+2（m-3）x+m-1與x軸交于B，A兩點(diǎn)，其中B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C．
（1）寫出拋物線的開口方向與點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（2）若tan∠CBA=3，試求拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）（其中0＜x＜3）是（2）中拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，試求四邊形AOCP的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）拋物線的開口向下，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，m-1）；

（2）∵點(diǎn)A、B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，
∴方程-x²+2（m-3）x+m-1=0的兩根異號，
即m-1＞0，
∴OC=m-1，由tan∠CBA=3，
得OB=OC=（m-1），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-，0），
代入解析式得-（m-1）²-（m-1）（m-3）+m-1=0，
由m-1≠0得-（m-1）-（m-3）+1=0，
∴m=4，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（3）如圖，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y＞0，
∴四邊形AOCP的面積為S_△COP+S_△OPA=×3x+×3y
=（x-x²+2x+3）=-（x-）²+
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）時(shí)，四邊形AOCP的面積達(dá)到最大值，
說明：①四邊形AOCP有多種分割方法，殊途同歸，都可得S=（x+y）．

分析：（1）二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是-1＜0，因而拋物線的開口向下．在函數(shù)解析式中令x=0解得y的值，就是C的縱坐標(biāo)；
（2）解方程-x²+2（m-3）x+m-1=0得到方程的兩個(gè)根，tan∠CBA=3，就可以轉(zhuǎn)化為OB，OC之間的關(guān)系，就可以用m表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可以得到一個(gè)關(guān)于m的方程，從而解出m的值．得到函數(shù)的解析式；
（3）四邊形AOCP的面積為S_△COP+S_△OPA，這兩個(gè)三角形的面積就可以用x表示出來，從而把面積表示成x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
點(diǎn)評：本題是三角函數(shù)與二次函數(shù)幾何圖形相結(jié)合的綜合題，難度較大．