Question

已知實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²=1，則a⁴+ab+b⁴的最小值為（　�。�

• A．-

  1

  8

• B．0
• C．1
• D．

  9

  8

Answer 1

分析：利用完全平方公式把a(bǔ)⁴+ab+b⁴配成關(guān)于ab的二次三項(xiàng)式，再根據(jù)平方數(shù)非負(fù)數(shù)（a-b）²=a²-2ab+b²求出ab的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．

解答：解：∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，
∴2|ab|≤a²+b²=1，
∴-

1

2

≤ab≤

1

2

，
令y=a⁴+ab+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²+ab=-2a²b²+ab+1=-2（ab-

1

4

）²+

9

8

，
當(dāng)-

1

2

≤ab≤

1

4

時(shí)，y隨ab的增大而增大，
當(dāng)

1

4

≤ab≤

1

2

時(shí)，y隨ab的增大而減小，
故當(dāng)ab=-

1

2

時(shí)，a⁴+ab+b⁴的最小值，為-2（-

1

2

-

1

4

）²+

9

8

=-2×

9

16

+

9

8

=0，
即a⁴+ab+b⁴的最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí)，ab=-

1

2

，此時(shí)a=-

2

2

，b=

2

2

，或 a=

2

2

，b=-

2

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，完全平方公式，配方成關(guān)于ab的形式并求出ab的取值范圍是解題的關(guān)鍵．