Question

【題目】如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/秒的速度沿折線BE﹣ED﹣DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q以2cm/秒的速度沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm2 ． 已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖像如圖（2）（其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段）．

（1）試根據(jù)圖（2）求0＜t≤5時(shí)，△BPQ的面積y關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）求出線段BC、BE、ED的長度；
（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和△ABE相似；
（4）如圖（3）過E作EF⊥BC于F，△BEF繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如果△BEF中E、F的對應(yīng)點(diǎn)H、I恰好和射線BE、CD的交點(diǎn)G在一條直線，求此時(shí)C、I兩點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：觀察圖像可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6

在Rt△ABE中，AB= = =8，

如圖1中，作PM⊥BC于M．

∵△ABE∽△MPB，

∴ ，

∴ = ，

∴PM= t，

當(dāng)0＜t≤5時(shí)，△BPQ的面積y= BQPM= 2t t= t2

（2）

解：由（1）可知BC=BE=10，ED=4

（3）

解：①當(dāng)P在BE上時(shí)，

∵BQ=2PB，

∴只有∠BPQ=90°，才有可能B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和△ABE相似，

∴∠BQP=30°，這個(gè)顯然不可能，

∴當(dāng)點(diǎn)P在BE上時(shí)，不存在△PQB與△ABE相似．

②當(dāng)點(diǎn)P在ED上時(shí)，觀察圖像可知，不存在△．

③當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，設(shè)PC=a，

當(dāng) 時(shí)，∴ = ，

∴a= ，

此時(shí)t=10+4+（8﹣ ）=14.5，

∴t=14.5s時(shí)，△PQB與△ABE相似

（4）

解：如圖3中，設(shè)EG=m，GH=n，

∵DE∥BC，

∴ ，

∴ = ，

∴m= ，

在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，

∴（ ）2=62+（8+n）2，

∴n=﹣8+8 或﹣8﹣8 （舍棄），

∵∠BIH=∠BCG=90°，

∴B、I、C、G四點(diǎn)共圓，

∴∠BGH=∠BCI，

∵∠GBF=∠HBI，

∴∠GBH=∠CBI，

∴△GBH∽△CBI，

∴ ，

∴ = ，

∴IC= ﹣

【解析】（1）觀察圖像可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB= = =8，如圖1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得 ，求出PM，根據(jù)△BPQ的面積y= BQPM計(jì)算即可問題．（2）觀察圖像（1）（2），即可解決問題．（3）分三種情形討論①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分別求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四點(diǎn)共圓，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得 ，由此只要求出GH即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形；相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）．