Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、和，垂直于軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，垂直于軸，垂足為，直線(xiàn)是該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

(1)求出該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若沿軸向右平移，使其直角邊與對(duì)稱(chēng)軸重合，再沿對(duì)稱(chēng)軸向上平移到點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，求此時(shí)與矩形重疊部分圖形的面積；

(3)若沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度()得到，與重疊部分圖形的面積記為，求與之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)拋物線(xiàn)的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2) ； (3) .

【解析】

（1）將點(diǎn)A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出該二次函數(shù)表達(dá)式，因?yàn)?/span>CD垂直于y軸，所以令y=4，求出x的值，即可寫(xiě)出點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）設(shè)A1F交CD于點(diǎn)G，O1F交CD于點(diǎn)H，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，證△FGH∽△FA1O1，求出GH的長(zhǎng)，因?yàn)?/span>Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形是梯形A1O1HG，所以S重疊部分=-S△FGH，即可求出結(jié)果；

（3）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，設(shè)O2C2交OD于點(diǎn)M，證△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；當(dāng)3＜t≤6時(shí)，設(shè)A2C2交OD于點(diǎn)M，O2C2交OD于點(diǎn)N，分別求出直線(xiàn)OD與直線(xiàn)A2C2的解析式，再求出其交點(diǎn)M的坐標(biāo)，證△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S=S四邊形A2Q2NM=，可求出S與t的函數(shù)表達(dá)式．

(1)∵拋拋線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、和，

∴拋物線(xiàn)的解析式為，

∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，

∴，

∴，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：，

∵垂直于軸，，

令，

解得，或，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(2)如圖1所示，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∵點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得， ，

∵與矩形重疊部分的圖形是梯形，

∴

；

(3)①當(dāng)時(shí)，如圖2所示，設(shè)交于點(diǎn)，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②當(dāng)時(shí)，如圖3所示，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

將點(diǎn)代入，

得，，

∴，

將點(diǎn)，代入，

得，，

解得，，，

∴直線(xiàn)的解析式為：，

聯(lián)立與，

得，，

解得，，

∴兩直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)為，

故點(diǎn)到2的距離為，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

；

∴與的函數(shù)關(guān)系式為：．