Question

【題目】如圖1，拋物線y1=ax2﹣x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，），拋物線y1的頂點(diǎn)為G，GM⊥x軸于點(diǎn)M．將拋物線y1平移后得到頂點(diǎn)為B且對(duì)稱軸為直線l的拋物線y2．

（1）求拋物線y2的解析式；

（2）如圖2，在直線l上是否存在點(diǎn)T，使△TAC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P為拋物線y1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線y2于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為R，若以P，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與△AMG全等，求直線PR的解析式．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式；

（2）設(shè)出點(diǎn)T坐標(biāo)，表示△TAC三邊，進(jìn)行分類討論；

（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示Q、R坐標(biāo)及PQ、QR，根據(jù)以P，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與△AMG全等，分類討論對(duì)應(yīng)邊相等的可能性即可．

（1）由已知，c=，

將B（1，0）代入，得：a﹣=0，

解得a=﹣，

拋物線解析式為y1=x2- x+，

∵拋物線y1平移后得到y2，且頂點(diǎn)為B（1，0），

∴y2=﹣（x﹣1）2，

即y2=-x2+ x-；

（2）存在，

如圖1：

拋物線y2的對(duì)稱軸l為x=1，設(shè)T（1，t），

已知A（﹣3，0），C（0，），

過(guò)點(diǎn)T作TE⊥y軸于E，則

TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣t+，

TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，

AC2=，

當(dāng)TC=AC時(shí)，t2﹣t+=，

解得：t1=，t2=；

當(dāng)TA=AC時(shí)，t2+16=，無(wú)解；

當(dāng)TA=TC時(shí)，t2﹣t+=t2+16，

解得t3=﹣；

當(dāng)點(diǎn)T坐標(biāo)分別為（1，），（1，），（1，﹣）時(shí)，△TAC為等腰三角形；

（3）如圖2：

設(shè)P（m，），則Q（m，），

∵Q、R關(guān)于x=1對(duì)稱

∴R（2﹣m，），

①當(dāng)點(diǎn)P在直線l左側(cè)時(shí)，

PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，

∵△PQR與△AMG全等，

∴當(dāng)PQ=GM且QR=AM時(shí)，m=0，

∴P（0，），即點(diǎn)P、C重合，

∴R（2，﹣），

由此求直線PR解析式為y=﹣x+，

當(dāng)PQ=AM且QR=GM時(shí)，無(wú)解；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線l右側(cè)時(shí)，

同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，

則P（2，﹣），R（0，﹣），

PQ解析式為：y=﹣；

∴PR解析式為：y=﹣x+或y=﹣.