Question

直角三角形AOB在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，OB=2，∠BAO=30°，將△AOB沿直線BE折疊，使得OB邊落在AB上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合．
（1）求直線BE的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是x軸上的動點(diǎn)，使△PAB是等腰三角形，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）點(diǎn)M是直線BE上的動點(diǎn)，過M點(diǎn)作AB的平行線交y軸于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、N、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿BE折疊O．D重合
∴∠EBO=30°，OE=BE，
設(shè)OE=x，則（2x）²=x²+，
∴x=2，
即 BE=4，E（﹣2，0），
設(shè)Y=kx+b代入得；
解得，
∴直線BE的解析式是：，
（2）過D作DG⊥OA于G，
∵沿BE折疊O、D重合，
∴DE=2，
∴∠DAE=30°
∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，
∴∠EDG=30°，
∴GE=1，DG=，
∴OG=1+2=3，
∴D的坐標(biāo)是：D；
（3）P₁（﹣2，0）；P₂（6，0）；；；

（4）存在，
過D作DM₁⊥y軸交BE于M，過M₁作AB平行線交y軸于N1，
則M₁的橫坐標(biāo)是x=﹣3，代入直線BE的解析式得：y=﹣，
∴M₁（﹣3，﹣），
②過D作DN₂∥BE交y軸于N₂，過N₂作N₂M₂∥AB交直線EB于M₂，
∵D的橫坐標(biāo)是﹣3，
∴M₂的橫坐標(biāo)是3，
∵M(jìn)₁的坐標(biāo)是（﹣3，﹣），D（﹣3，），
∴DM₁=+=2=NB，
∵BO=2，
∴M₂的縱坐標(biāo)是2+2+=5，
∴M₂（3，5），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)是：（﹣3，﹣）和（3，5）．