Question

直角三角形AOB在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，OB=2

3

，∠BAO=30°，將△AOB沿直線BE折疊，使得OB邊落在AB上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合．
（1）求直線BE的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，使△PAB是等腰三角形，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）點(diǎn)M是直線BE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作AB的平行線交y軸于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、N、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：先利用直角三角形的性質(zhì)（直角三角形中，如果有一個(gè)角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．）和勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)E（-2，0），進(jìn)一步用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=

3

x+2

3

．

解答：解：（1）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿BE折疊O．D重合
∴∠EBO=30°，
OE=

1

2

BE，
設(shè)OE=x，
則（2x）²=x²+(2

3)

2，
∴x=2，
即 BE=4，
E（-2，0），
設(shè)Y=kx+b代入得；

0=-2k+b 2 3 =b

解得

k= 3 b=2 3

，
∴直線BE的解析式是：y=

3

x+2

3

，

（2）過(guò)D作DG⊥OA于G，
∵沿BE折疊O、D重合，
∴DE=2，
∵∠DAE=30°
∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，
∴∠EDG=30°，
∴GE=1，DG=

3

，
∴OG=1+2=3，
∴D的坐標(biāo)是：D(-3，

3

)；

（3）P₁（-2，0）；P₂（6，0）；P3(4

3

-6，0)；P4(-6-4

3

，0)；

（4）存在，
過(guò)D作DM₁⊥y軸交BE于M，過(guò)M₁作AB平行線交y軸于N₁，
則M₁的橫坐標(biāo)是x=-3，代入直線BE的解析式得：
y=-

3

，
∴M₁（-3，-

3

），
②過(guò)D作DN₂∥BE交y軸于N₂，過(guò)N₂作N₂M₂∥AB交直線EB于M₂，
∵D的橫坐標(biāo)是-3，
∴M₂的橫坐標(biāo)是3，
∵M(jìn)₁的坐標(biāo)是（-3，-

3

），D（-3，

3

），
∴DM₁=

3

+

3

=2

3

=NB，
∵BO=2

3

，
∴M₂的縱坐標(biāo)是2

3

+2

3

+

3

=5

3

，
∴M₂（3，5

3

），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)是：（-3，-

3

）和（3，5

3

）．

點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是用兩點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出解析式，再利用平行線間的距離處處相等求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理用方程求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，注意一題多解．