Question

4． 如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax²+bx-3相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△ABR為等邊三角形？若存在求出R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知點(diǎn)A坐標(biāo)可確定直線AB的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法可解．
（2）首先由拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在△POB和△POC中，已知的條件是公共邊OP，若OB與OC不相等，那么這兩個三角形不能構(gòu)成全等三角形；若OB等于OC，那么還要滿足的條件為：∠POC=∠POB，各自去掉一個直角后容易發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P正好在第二象限的角平分線上，聯(lián)立直線y=-x與拋物線的解析式，直接求交點(diǎn)坐標(biāo)即可，同時(shí)還要注意點(diǎn)P在第二象限的限定條件．
（3）分別以A、B、Q為直角頂點(diǎn)，分類進(jìn)行討論．找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解即可．
（4）根據(jù)等邊三角形的邊相等，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得R點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，點(diǎn)在函數(shù)圖象上；否則，點(diǎn)不在函數(shù)圖象上．

解答 解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴y=2x-6，
令y=0，解得：x=3，
∴B的坐標(biāo)是（3，0）．
∵A為頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析為y=a（x-1）²-4，
把B（3，0）代入得：4a-4=0，
解得a=1，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3．
（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴當(dāng)∠POB=∠POC時(shí)，△POB≌△POC，
此時(shí)PO平分第二象限，即PO的解析式為y=-x．
設(shè)P（m，-m），則-m=m²-2m-3，解得m=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（m=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$＞0，舍），
∴P（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$）．

（3）①如圖，當(dāng)∠Q₁AB=90°時(shí)，△DAQ₁∽△DOB，
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{D{Q}_{1}}{DB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{6}$=$\frac{D{Q}_{1}}{3\sqrt{5}}$，
∴DQ₁=$\frac{5}{2}$，
∴OQ₁=$\frac{7}{2}$，即Q₁（0，-$\frac{7}{2}$）；
②如圖，當(dāng)∠Q₂BA=90°時(shí)，△BOQ₂∽△DOB，
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{O{Q}_{2}}{OB}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{O{Q}_{2}}{3}$，
∴OQ₂=$\frac{3}{2}$，即Q₂（0，$\frac{3}{2}$）；
③如圖，當(dāng)∠AQ₃B=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，
則△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴$\frac{OB}{{Q}_{3}E}$=$\frac{O{Q}_{3}}{AE}$，即$\frac{3}{4-O{Q}_{3}}$=$\frac{O{Q}_{3}}{1}$，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，
∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{7}{2}$）或（0，$\frac{3}{2}$）或（0，-1）或（0，-3）．
（4）拋物線上不存在一點(diǎn)R，使△ABR為等邊三角形，理由如下：
設(shè)R（a，b），由△ABR為等邊三角形，得
$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）^{2}+^{2}=（a-1）^{2}+（b+4）^{2}①}\\{（a-3）^{2}+^{2}=（3-1）^{2}+{4}^{2}②}\end{array}\right.$，
由①，得a=-2b-2 ③，
把③代入②，得
b²+4b+1=0．
解得b₁=-2+$\sqrt{3}$，b₂=-2-$\sqrt{3}$，
a₁=2-2$\sqrt{3}$，a₂=2+2$\sqrt{3}$，
R₁（2-2$\sqrt{3}$，-2+$\sqrt{3}$），R₂（2+2$\sqrt{3}$，-2-$\sqrt{3}$）．
將R₁代入拋物線的解析式，
當(dāng)x=2-2$\sqrt{3}$時(shí)，x²-2x-3=9-4$\sqrt{3}$≠-2+$\sqrt{3}$，
R₁不在拋物線上；
當(dāng)x=2+2$\sqrt{3}$時(shí)x²-2x-3=9+4$\sqrt{3}$≠-2-$\sqrt{3}$，
R₂不在拋物線上；
綜上所述：拋物線上不存在一點(diǎn)R，使△ABR為等邊三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形與相似三角形應(yīng)用等重點(diǎn)知識．（3）題較為復(fù)雜，需要考慮的情況也較多，因此要分類進(jìn)行討論，利用等邊三角形求出R點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．