Question

8．已知a、b為方程x²-4x+1=0的兩個根，c、d為方程x²-5x+2=0的兩個根，t=$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\fracbzdhbpr{a+b+c}$，求$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+$\frac{^{2}}{a+c+d}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+$\frac{1jn9fjr^{2}}{a+b+c}$（結(jié)果用t表示）

Answer 1

分析 根據(jù)韋達(dá)定理知a+b=4、c+d=5，將t=$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\fracnhjlh5f{a+b+c}$兩邊都乘以a+b+c+d，變形后可得t（a+b+c+d）=$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+a+$\frac{^{2}}{a+c+d}$+b+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+c+$\frac{hb57lnx^{2}}{a+b+c}$+d即$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+$\frac{^{2}}{a+c+d}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+$\frac{tnrdpfz^{2}}{a+b+c}$=t（a+b+c+d）-（a+b+c+d），代入可得答案．

解答 解：根據(jù)題意知，a+b=4，c+d=5，
∵t=$\frac{a}{b+c+d}$+$\frac{a+c+d}$+$\frac{c}{a+b+d}$+$\frac1ljhp3f{a+b+c}$，
∴t（a+b+c+d）=$\frac{a（a+b+c+d）}{b+c+d}$+$\frac{b（a+b+c+d）}{a+c+d}$+$\frac{c（a+b+c+d）}{a+b+d}$+$\frac{d（a+b+c+d）}{a+b+c}$
=a（$\frac{a}{b+c+d}+1$）+b（$\frac{a+c+d}+1$）+c（$\frac{c}{a+b+d}+1$）+d（$\frac3tztdvb{a+b+c}+1$）
=$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+a+$\frac{^{2}}{a+c+d}$+b+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+c+$\frac{f7lfjhr^{2}}{a+b+c}$+d，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c+d}$+$\frac{^{2}}{a+c+d}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b+d}$+$\frac{rf1jvpf^{2}}{a+b+c}$=t（a+b+c+d）-（a+b+c+d）=9t-9．

點評 本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，將已知等式兩邊都乘以a+b+c+d通過變形得到待求代數(shù)式是解決此題的關(guān)鍵．