Question

【題目】在Rt△OAB中，∠AOB=90°，已知AB= ，AO：BO=1：3，將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ODC，如圖1建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)（如圖2），點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，試判定△PCD的形狀，并說明理由：

（3）在（2）的拋物線上，且在第一象限中，是否存在點(diǎn)Q，使S△QCD=S△OCD？若存在，請(qǐng)求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△OAB中，AB= ，AO：BO=1：3，

∴OA=1，OB=3，

∴A（﹣1，0），B（0，3），

∵△OCD是由△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°所得，

∴OC=OB=3，

∴C（3，0），

綜上可知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，3）、（3，0）；

（2）

解：∵拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，3），

∴a（0+1）（0﹣3）=3，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）2+4，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

∵OD=OA=1，

∴D（0，1），

∴PD= = ，CD= = ，PC= = =2 ，

∴PD2+CD2=PC2，且PD=CD，

∴△PCD是等腰直角三角形；

（3）

解：存在．

設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，

∵直線經(jīng)過點(diǎn)C（3，0），D（0，1），

∴ ，解得 ，

∴直線CD解析式為y=﹣ x+1，

過點(diǎn)Q作QH∥y軸，交CD于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)Q是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

∴可設(shè)Q（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），則點(diǎn)H為（m，﹣ m+1），

∴QM=﹣m2+2m+3﹣（﹣ m+1）=﹣m2+ m+2，

∴S△QCD= QMOC= （﹣m2+ m+2）×3=﹣ m2+ m+3，

∵S△QCD=S△OCD= ，

∴﹣ m2+ m+3= ，解得m= 或m= （舍去），

∴存在滿足條件的點(diǎn)Q，其橫坐標(biāo)為 ．

【解析】（1）在Rt△AOB中，根據(jù)條件可求得OA、OB的長(zhǎng)，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得OC的長(zhǎng)，則可求得A、B、C的坐標(biāo)；（2）由待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合D、C的坐標(biāo)，可分別求得PD、PC、CD的長(zhǎng)，則可判斷出△PCD的形狀；（3）可先求得直線CD解析式，過Q作QH∥y軸，交CD于點(diǎn)H，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出QH，則可表示出△QCD的面積，由條件可得到方程，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．