Question

已知如圖△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC邊上的一個動點（不與B，C點重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：當(dāng)△ADE是等腰三角形時，因為三角形的腰和底不明確，所以應(yīng)分AD=AE，AD=DE，AE=DE三種情況討論．

解答：解：分三種情況：
①若AD=AE時，∠DAE=90°，此時D點與點B重合，不合題意；
②若AD=DE時，△ABD與△DCE的相似比為1，此時△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=1，BC=

2

，AE=AC-EC=1-BD=1-（

2

-1）=2-

2

；
③若AE=DE，此時∠DAE=∠ADE=45°，如圖所示，
易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．
由等腰三角形的三線合一可知：AE=CE=

1

2

AC=

1

2

．
綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，AE的長為2-

2

或

1

2

．

點評：此題考查了相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，難度適中，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．