Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓O，以點(diǎn)D為圓心、DA為半徑做圓弧交半圓O于點(diǎn)P．連結(jié)DP并延長交AB于點(diǎn)E．

（1）求證：DE為半圓O的切線；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)SSS證得△ODP≌△ODC，從而證得∠OPD＝∠OCD＝90°，即可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)切線長定理和相似三角形的判定與性質(zhì)得到：（AB﹣EB）2＝EB（2AB+EB），整理得到AB＝4EB，即可證得AE＝3EB，從而求得

（1）證明：連接OP，OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴OP＝OC，

∵以點(diǎn)D為圓心、DA為半徑做圓弧，

∴PD＝CD，

在△ODP和△ODC中，

，

∴△ODP≌△ODC（SSS），

∴∠OPD＝∠OCD＝90°，

∵P點(diǎn)在⊙O上，

∴DE為半圓O的切線；

（2）解：∵以點(diǎn)D為圓心、DA為半徑做圓，延長ED與圓的另一個交點(diǎn)為H，連接AP,

四邊形ABCD是正方形，

∴EA是⊙D的切線，

為圓D的直徑，

∴EA2＝EPEH，

同理，EB是半圓O的切線，

∵DE為半圓O的切線，

∴EB＝EP，

∵AD＝PD＝AB，

∴（AB﹣EB）2＝EP（PH+EP）

∴（AB﹣EB）2＝EB（2AB+EB）

整理得AB＝4EB，

∴AE＝3EB，

∴．