Question

如圖所示，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，
（1）求證：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質,矩形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據平行四邊形對邊相等可得AB=CD，然后求出AB=CE，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ABC=∠ECF，然后利用“角角邊”證明△ABF和△ECF全等即可；
（2）根據平行四邊形的對角相等可得∠ABC=∠D，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠AFC=∠ABC+∠BAF，然后求出∠ABC=∠BAF，再根據等角對等邊可得AF=BF，根據全等三角形對應邊相等可得BF=CF，AF=EF，從而得到AF=BF=EF=CF，再根據對角線互相平分且相等的四邊形是矩形證明．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=CE，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠ECF，
在△ABF和△ECF中，

∠ABC=∠ECF ∠AFB=∠EFC AB=CE

，
∴△ABF≌△ECF（AAS）；

（2）證明：在平行四邊形ABCD中，∠ABC=∠D，
所以，∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∵∠AFC=2∠D，
∴∠ABC=∠BAF，
∴AF=BF，
∵△ABF≌△ECF，
∴BF=CF，AF=EF，
∴AF=BF=EF=CF，
∴四邊形ABEC是矩形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，考慮利用對角線的關系判斷矩形是解題的關鍵．