Question

如圖，矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．矩形O′A′BC′是矩形OABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的．O′點(diǎn)恰好在x軸的正半軸上，O′C′交AB于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)O′的坐標(biāo)，并判斷△O′DB的形狀（要說(shuō)明理由）
（2）求邊C′O′所在直線的解析式．
（3）延長(zhǎng)BA到M使AM=1，在（2）中求得的直線上是否存在點(diǎn)P，使得△POM是以線段OM為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OB，O′B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=O′B，再根據(jù)矩形的性質(zhì)BA⊥OA，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AO=AO′，然后根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出AO的長(zhǎng)度，再得到AO′的長(zhǎng)度，點(diǎn)O′的坐標(biāo)即可得到；利用角角邊證明△BC′D與△O′AD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=O′D，所以△O′DB是等腰三角形；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，a），表示出O′D的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式求出a的值，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出直線C′O′的解析式；
（3）根據(jù)AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角邊，∠PMA=45°，②PO是另一直角邊，∠POA=45°兩種情況列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）如圖，連接OB，O′B，則OB=O′B，
∵四邊形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)是（2，0），
△O′DB為等腰三角形，
理由如下：在△BC′D與△O′AD中，

∠C′=∠DAO′=90° ∠BDC′=∠O′DA BC′=AO′=1

，
∴△BC′D≌△O′AD（AAS），
∴BD=O′D，
∴△O′DB是等腰三角形；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，a），則AD=a，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD²+AO′²=O′D²，
∴a²+1²=（3-a）²，
解得a=

4

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

4

3

），
設(shè)直線C′O′的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=0 k+b= 4 3

，
解得

k=- 4 3 b = 8 3

，
∴邊C′O′所在直線的解析式：y=-

4

3

x+

8

3

；

（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角邊時(shí)，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，點(diǎn)P與點(diǎn)O′重合，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，0），
②PO是另一直角邊，∠POA=45°，則PO所在的直線為y=x，
∴

y=- 4 3 x+ 8 3 y=x

，
解得

x= 8 7 y= 8 7

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，0）或（

8

7

，

8

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查，主要有矩形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等，綜合性較強(qiáng)，難度中等，需仔細(xì)分析細(xì)心計(jì)算．