Question

如圖，半徑為1的半圓內(nèi)接等腰梯形，其下底是半圓的直徑，試求：
（1）它的周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．
（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為何值時(shí)，周長(zhǎng)有最大值？這個(gè)最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分別為E、F，由垂徑定理可知AE=

1

2

AD=

1

2

x，由三角形相似得相似比，用x表示AF的長(zhǎng)，根據(jù)CD=AB-2AF表示等腰梯形的上底，可求梯形的周長(zhǎng)；
（2）把（1）中梯形周長(zhǎng)的表達(dá)式配方，可求周長(zhǎng)的最大值．

解答：解：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分別為E、F，
由垂徑定理可知AE=

1

2

AD=

1

2

x，
易證Rt△ADF∽R(shí)t△AOE，
∴

AF

AE

=

AD

AO

，即

AF

1 2 x

=

x

1

，解得AF=

1

2

x²，
∴CD=AB-2AF=2-x²，
∴y=2x+2+2-x²=-x²+2x+4，
∵OA=1，AF=

1

2

x²，
∴

1

2

x²＜1
∴0＜x＜

2

；

（2）∵y=-x²+2x+4=-（x-1）²+5，
∴x=1時(shí)，周長(zhǎng)最大為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在求梯形周長(zhǎng)最值中的運(yùn)用．關(guān)鍵是利用垂徑定理，三角形相似求梯形的上底．