Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．
（1）求a、c的值；
（2）將上述拋物線向右平移，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，當(dāng)四邊形A A′B′B為菱形時(shí)，求平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接A′B，設(shè)點(diǎn)P是線段A′B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP、AP，求當(dāng)△AOP的周長(zhǎng)取最小值時(shí)BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要求a、c的值需要運(yùn)用待定系數(shù)法將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式就可．
（2∵平移后為菱形，先要根據(jù)勾股定理AB的長(zhǎng)，就可以判斷需要平移的單位數(shù)，然后將原解析式化為頂點(diǎn)式，寫出新解析式就可以了．
（3）要求△APO周長(zhǎng)最小時(shí)PB的長(zhǎng)，實(shí)際上軸對(duì)稱問題，找到O點(diǎn)關(guān)于A′B的對(duì)稱點(diǎn)O′，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出O'A的解析式，再求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式求出PB的長(zhǎng)．

解答：解：（1）由題意得：

0=9a-6a+c 4=c

解得：

a=- 4 3 c=4

∴拋物線的解析式為：y=-

4

3

x2 +

8

3

x+4
即y=-

4

3

(x-1)2+

16

3

∴a=-

4

3

，c=4

（2）∵四邊形A A′B′B為菱形
∴AA′=A′B′=B′B=BA，由勾股定理得，
AB=5
∴拋物線向右平移了5個(gè)單位   
∴平移后拋物線的解析式為：y=-

4

3

(x-6)2+

16

3

                                  

（3）連接A′B，作點(diǎn)O關(guān)于A′B的對(duì)稱點(diǎn)O′交A′B于點(diǎn)C，連接O′A交A′B于點(diǎn)P．
設(shè)直線A′B的解析式為：y=kx+b，得

4=b 0=8k+b

解得：

k=- 1 2 b=4

∴直線A′B的解析式為：y=-

1

2

x+4
在直角三角形A′OB中，由勾股定理得
A′B=4

5

，由三角形面積公式得OC=

8 5

5

，設(shè)點(diǎn)C（x，-

1

2

x+4）
由勾股定理得：C（

8

5

，

16

5

），利用三角形的中位線定理求得
O′（

16

5

，

32

5

）
設(shè)O′A的解析式為y=kx+b，得

32 5 = 16 5 k+b 0=3k+b

解得

k=32 b=-96

∴O′A的解析式為：y=32x-96
∴O′A與直線A′B的交點(diǎn)坐標(biāo)為：P（

40

13

，

32

13

）
由兩點(diǎn)間的距離公式得，PB=

20 5

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)綜合題，考查了用待定系數(shù)法求系數(shù)的值，圖象的平移以及拋物線頂點(diǎn)式的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．綜合性較強(qiáng)，難度較大．