Question

如圖，已知BC是以AB為直徑的⊙的切線，且BC=AB，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，延長AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且DF=FB．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若BE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理,解直角三角形

專題：證明題

分析：（1）連接BD，根據(jù)等邊對等角可得∠FDB=∠FBD，∠ODB=∠OBD，然后根據(jù)切線的性質(zhì)即可證得；
（2）根據(jù)直角△OBC和直角△CDF中，tanC的定義即可列方程氣的CD的長，在直角△CDF中利用勾股定理即可求解．

解答：（1）證明：連接BD，
∵BC是⊙O的切線，AB是直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠FBD+∠OBD=90°，
∵DF=FB，
∴∠FDB=∠FBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是圓的切線；

（2）解：∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，
∵∠FDB=∠FBD，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE=FB，
在直角△OBC中，tanC=

OB

BC

=

OB

2OB

=

1

2

，
在直角△CDF中，tanC=

DF

CD

，
∴

DF

CD

=

1

2

，
∵DF=1，
∴CD=2，
在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF=

5

，
∴OB=

1

2

BC=

5 +1

2

，
∴⊙O的半徑是

5 +1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．