Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，△ABC與△DEC關于點C成中心對稱，連接AE、BD．
（1）線段AE、BD具有怎樣的位置關系和大小關系？說明你的理由．
（2）如果△ABC的面積為5cm²，求四邊形ABDE的面積．
（3）當∠ACB為多少度時，四邊形ABDE為矩形？說明你的理由．

Answer 1

考點：中心對稱,平行四邊形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得AC=CD，BC=CE，然后根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到四邊形ABDE是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊互相平行且相等解答；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角線把四邊形分成面積相等的四個部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證明．

解答：解：（1）∵△ABC與△DEC關于點C成中心對稱，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE與BD平行且相等；

（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴S_△ABC=S_△BCD=S_△CDE=S_△ACE，
∵△ABC的面積為5cm²，
∴四邊形ABDE的面積=4×5=20cm²；

（3）∠ACB=60°時，四邊形ABDE為矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四邊形ABDE為矩形．

點評：本題考查了中心對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，熟記各性質(zhì)與判定方法是解題的關鍵．