Question

已知拋物線y=

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

．
（1）求證：無論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn)；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是拋物線上的兩個不同點(diǎn)，求拋物線的解析式和n的值；
（3）若反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0，   x＞0)的圖象與（2）中的拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，且滿足2＜x₀＜3，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：令

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

=0．
得△=[-(m-3)]2-4×

1

2

×

5-4m

2

=m²-2m+4=（m-1）²+3．
∵不論m為任何實(shí)數(shù)，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴不論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個交點(diǎn)．
x=-

-(m-3)

2× 1 2

=m-3．

（2）拋物線y=

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

的對稱軸為：x=m-3，
∵拋物線上兩個不同點(diǎn)A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的縱坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則m-3=

(n-3)+(-n+1)

2

=-1．
∴m=2．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2+x-

3

2

．   
∵A（n-3，n²+2）在拋物線y=

1

2

x2+x-

3

2

上，
∴

1

2

(n-3)2+(n-3)-

3

2

=n2+2．
化簡，得n²+4n+4=0．
∴n=-2．　　

（3）當(dāng)2＜x＜3時(shí)，
對于y=

1

2

x2+x-

3

2

，y隨著x的增大而增大，
對于y=

k

x

(k＞0，   x＞0)，y隨著x的增大而減�。�
所以當(dāng)x₀=2時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方，
得

k

2

＞

1

2

×22+2-

3

2

，
解得：k＞5．
當(dāng)x₀=3時(shí)，由二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
得

1

2

×32+3-

3

2

＞

k

3

，
解得k＜18．
所以k的取值范圍為：5＜k＜18．