【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.
(1)設(shè)二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,求二次函數(shù)的表達式;
(2)在(1)的條件下,設(shè)二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C,且在同一平面內(nèi),以A,B,C,P為頂點的四邊形為平行四邊形,求點P的坐標(biāo).
【答案】(1) y=x2+3x+2;(2) P點坐標(biāo)為:(-1,2)或(1,2)或(-3,-2).
【解析】
(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系用m表示出x12+x22,然后列出方程,再求解即可;
(2)先求出A,B,C,三點的坐標(biāo),然后分三種情況討論點P的坐標(biāo)即可.
(1)由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1+x2=2m-1,x1x2=m2+3m+4,
∵x12+x22=5,
∴(x1+x2)2-2x1x2=5,
∴(2m-1)2-2(m2+3m+4)=5,
整理得,m2-5m-6=0,
解得m1=-1,m2=6,
∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點,
∴△=(2m-1)2-4(m2+3m+4)=-16m-15>0,
解得
∴m2=6不符合題意,舍去.
所以,二次函數(shù)的解析式為y=x2+3x+2;
(2)由(1)可知二次函數(shù)的解析式為y=x2+3x+2,
所以,點C的坐標(biāo)為(0,2),并且
∴當(dāng)時,x1=-2,x2=-1,
∴函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)為(-2, 0),(-1,0)
∴①當(dāng)如圖一所示時:
P點坐標(biāo)為:(-1,2)
②當(dāng)如圖二所示時:
P點坐標(biāo)為:(1,2)
③當(dāng)如圖三所示時:
P點坐標(biāo)為:(-3,-2).
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點P(2,6),過點P作PA⊥x軸于A,PB⊥y軸于點B.一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C、D,若tan∠DCO=2.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△BDP的面積,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)x>0時,一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
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【題目】在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB邊上一點,EF⊥CE交AD于點F,過點E作∠AEH=∠BEC,交射線FD于點H,交射線CD于點N.
(1)如圖a,當(dāng)點H與點F重合時,求BE的長;
(2)如圖b,當(dāng)點H在線段FD上時,設(shè)BE=x,DN=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;
(3)連接AC,當(dāng)△FHE與△AEC相似時,求線段DN的長.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)方程ax2+bx+c=0的兩個根為____________;
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集為________;
(3)y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍為________;
(4)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍為________.
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【題目】在矩形中,,,點在邊上,且.
探究:如圖①,點在矩形的邊上,連結(jié),過點作,交邊于點.求證:.
應(yīng)用:如圖②,若圖①的交邊于點.其它條件不變,連結(jié),則的值為 ,若的面積是.則的長為
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(,0),B(0,2),點C在第一象限,∠ABC=135°,AC交軸于D,CD=3AD,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C,則的值為_______.
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【題目】元旦期間,某賓館有50個房間供游客居住,當(dāng)每個房間每天的定價為180元時,房間會全部住滿;當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑.如果游客居住房間,賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.
(1)若房價定為200元時,求賓館每天的利潤;
(2)房價定為多少時,賓館每天的利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點A,將點A向右平移2個單位長度,得到點B,點B在拋物線上.
(1)求點B的坐標(biāo)(用含的式子表示);
(2)求拋物線的對稱軸;
(3)已知點,.若拋物線與線段PQ恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍.
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