Question

求不定方程3x²+7xy-2x-5y-17=0的全部正整數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：非一次不定方程（組）

專題：

分析：首先原方程整理得：y=-

3x2-2x-17

7x-5

，由x，y是正整數(shù)，可得當(dāng)y≥1，一定有：

3x2-2x-17

7x-5

＜0，當(dāng)x≥1，則7x-5＞0，一定有3x²-2x-17＜0，然后分析x的取值，求得x的范圍，繼而求得答案．

解答：解：原方程整理得：y=-

3x2-2x-17

7x-5

，
∵x，y是正整數(shù)，
∴當(dāng)y≥1，一定有：

3x2-2x-17

7x-5

＜0，
當(dāng)x≥1，則7x-5＞0，一定有3x²-2x-17＜0，
該不等式整理得：（x-

1

3

）²＜

52

9

，
∴x＜

1+ 52

3

＜

8+1

3

=3，
∴1≤x＜3，
∴x的正整數(shù)解只可能是1或2；
當(dāng)x=1時(shí)，y=8；
當(dāng)x=2時(shí)，y=1．
∴共有兩組解．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了非一次不定方程的知識(shí)．此題難度較大，注意由題意可得當(dāng)y≥1，一定有：

3x2-2x-17

7x-5

＜0，當(dāng)x≥1，則7x-5＞0，一定有3x²-2x-17＜0，是解此題的關(guān)鍵．