Question

已知：如圖，△ABC的AB邊上一點D滿足AB=3AD，點P在△ABC的外接圓上，∠ADP=∠C．
（1）求證：PA²=AD•AB；
（2）求

PB

PD

的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）利用同弧所對的圓周角相等以及已知角相等，等量代換得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對角相等的三角形相似，得到三角形APB與三角形ADP相似，由相似得比例，變形后即可得證；
（2）將AB=3AD代入第一問得出的關(guān)系式中，得到PA=

3

AD，求出PA與AD之比，即為所求之比．

解答：（1）證明：∵∠APB=∠C，∠ADP=∠C，
∴∠APB=∠ADP，
∵∠BAP=∠DAP，
∴△APB∽△ADP，
∴

PA

DA

=

BA

PA

=

PB

DP

，
∴PA²=AD•AB；

（2）解：∵PA²=AD•AB，AB=3AD，
∴PA²=3AD²，即PA=

3

AD，
∴

PB

PD

=

PA

AD

=

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．