Question

16．在△ABF中，C為AF上一點且AB=AC．
（1）尺規(guī)作圖：作出以AB為直徑的⊙O，⊙O分別交AC、BC于點D、E，在圖上標出D、E，在圖上標出D、E（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）若∠BAF=2∠CBF，求證：直線BF是⊙O的切線；
（3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BF的長．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分線交AB于O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O即為所求；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=$\frac{1}{2}$∠CAB，等量代換得到∠1=∠CBF，求出∠CBF+∠2=90°，然后，根據(jù)切線的判定即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到sin∠1=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求出BE=AB•sin∠1=$\sqrt{5}$，根據(jù)勾股定理得到BC=2BE=2$\sqrt{5}$，由勾股定理得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，于是得到sin∠2=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠2=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AG=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，所示⊙O為所求作的圓；

（2）連結(jié)AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AB=AC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∵∠BAF=2∠CBF，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$CAB，
∴∠1=∠CBF，
∴∠CBF+∠2=90°，
∵即∠ABF=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BF是⊙O的切線；

（3）過點C作CG⊥AB于點G，
∵sin∠CBF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=$\sqrt{5}$，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠2=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠2=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CBG中，GC=BC sin∠2=2$\sqrt{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=4，GB=BCcos∠2=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴$\frac{GC}{BF}=\frac{AG}{AB}$，
∴BF=$\frac{GC•AB}{AG}$=$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，基本圖形的作法，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．