Question

矩形OABC的頂點A（-8，0）、C（0，6），點D是BC邊上的中點，拋物線y=ax²+bx經過A、D兩點，
（1）求點D關于y軸的對稱點D′的坐標及a、b的值；
（2）在y軸上取一點P，使PA+PD長度最短，求點P的坐標；
（3）將拋物線y=ax²+bx向下平移，記平移后點A的對應點為A₁，點D的對應點為D₁．當拋物線平移到某個位置時，恰好使得點O是y軸上到A₁、D₁兩點距離之和OA₁+OD₁最短的一點，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先根據矩形的性質得到點B的坐標，然后得到點D的坐標，從而得到點D′的坐標，然后利用待定系數法求得a、b的值即可；
（2）求得直線AD′的解析式后求得直線與y軸的交點坐標即為點P的坐標；
（3）首先利用待定系數法求得直線A₁D₁′的解析式，根據點O為使OA₁+OD₁最短的點求得m的值，從而確定拋物線的解析式．

解答：解：（1）由矩形的性質可知：B（-8，6），
∴D（-4，6），點D關于y軸對稱點D′（4，6），
將A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax²+bx，得：

64a-8b=0 16a-4b=6

∴

a=- 3 8 b=-3

；

（2）設直線AD′的解析式為y=kx+n，則：

-8k+n=0 4k+n=6

，
解得：

k= 1 2 n=4

；
故直線y=

1

2

x+4與y軸交于點（0，4），所以點P（0，4）；，

（3）設拋物線現象平移了m個單位，則A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m）
∴D₁′（4，6-m），
令直線A₁D₁′為y=k′x+b′；
∴

-8k′+b′=-m 4k′+b′=-m

∴

k′= 1 2 b′=4-m

∵點O為使OA₁+OD₁最短的點，
∴b′=4-m=0
∴m=4，
即將拋物線向下平移了4個單位；
∴y+4=-

3

8

x²-3x，即此時的解析式為y=-

3

8

x²-3x-4．

點評：此題考查了二次函數與一次函數，四邊形的綜合知識，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯系密切，需要認真審題．