Question

15．已知點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B為直線x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B（-1，y）．
（1）如圖①，若△ABO是等腰三角形且AO=AB時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖②，若點(diǎn)C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC垂足為點(diǎn)C；
①當(dāng)x=0時(shí)，求tan∠BAC的值；
②若AB與y軸正半軸的所夾銳角為α，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)tanα的值最大？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得到AE²+BE²=AB²，即可得到結(jié)論；
（2）①由點(diǎn)C（x，0），當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)C與O重合，如圖②，設(shè)直線x=-1與x軸交于G，過(guò)A作AF⊥x軸于F，通過(guò)△AOF∽△OBG，得到BO：AO=OG：AF=1：4，于是得到tan∠BAC=$\frac{1}{4}$，②設(shè)直線x=-1與x軸交于G，過(guò)A作AH⊥直線x=-1于H，AF⊥x軸于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABH=α，由三角函數(shù)的定義得到tanα=$\frac{4}{BH}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式$\frac{y}{x-3}=\frac{x+1}{4}$，于是得到y(tǒng)=-$\frac{1}{4}$（x+1）（3-x）=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖①，過(guò)A作AE⊥直線x=-1于E，
在Rt△ABE中，
∵AE²+BE²=AB²，
∴（4-y）²+4²=5²；
解得y=1或7，
∴B（-1，1）或B（-1，7）；

（2）①∵點(diǎn)C（x，0），當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)C與O重合，如圖②，設(shè)直線x=-1與x軸交于G，過(guò)A作AF⊥x軸于F，
∴∠BGO=∠AOB=∠AFO=90°，
∴∠GBO+∠BOG=∠BOG+∠AOF=90°，
∴∠GBO=∠AOF，
∴△AOF∽△OBG，
∴BO：AO=OG：AF=1：4，
∴tan∠BAC=$\frac{1}{4}$，
②如圖③，設(shè)直線x=-1與x軸交于G，過(guò)A作AH⊥直線x=-1于H，AF⊥x軸于F，
∵BE∥y軸，
∴∠ABH=α，
在Rt△ABE中，tanα=$\frac{4}{BH}$，
∵tanα隨BH的增大而減小，
∴當(dāng)BH最小時(shí)tanα有最大值；即BG最大時(shí)，tanα有最大值，
由（1）證得△ACF∽△CBG，
∴$\frac{BG}{CF}=\frac{CG}{AF}$，即$\frac{y}{x-3}=\frac{x+1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x+1）（3-x）=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，
當(dāng)x=1時(shí)，y_max=1，
即當(dāng)C（1，0）時(shí)，tanα有最大值$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線證得△ACF∽△CBG是解題的關(guān)鍵．