Question

（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B），過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線，簡記為P（l_x）（x為自然數(shù)）．
（1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當BP=2PA時，P（l₁）、P（l₂）都是過點P的△ABC的相似線（其中l(wèi)₁⊥BC，l₂∥AC），此外，還有

1

條；
（2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當

BP

BA

=

1

2

或

3

4

或

3

4

時，P（l_x）截得的三角形面積為△ABC面積的

1

4

．

Answer 1

分析：（1）過點P作l₃∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC，l₃是第3條相似線；
（2）按照相似線的定義，找出所有符合條件的相似線．總共有4條，注意不要遺漏．

解答：解：（1）存在另外 1 條相似線．
如圖1所示，過點P作l₃∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC；
故答案為：1；

（2）設(shè)P（l_x）截得的三角形面積為S，S=

1

4

S_△ABC，則相似比為1：2．
如圖2所示，共有4條相似線：
①第1條l₁，此時P為斜邊AB中點，l₁∥AC，∴

BP

BA

=

1

2

；
②第2條l₂，此時P為斜邊AB中點，l₂∥BC，∴

BP

BA

=

1

2

；
③第3條l₃，此時BP與BC為對應(yīng)邊，且

BP

BC

=

1

2

，∴

BP

BA

=

BP

BC cos30°

=

3

4

；
④第4條l₄，此時AP與AC為對應(yīng)邊，且

AP

AC

=

1

2

，∴

AP

AB

=

AP

AC sin30°

=

1

4

，∴

BP

BA

=

3

4

．
故答案為：

1

2

或

3

4

或

3

4

．

點評：本題引入“相似線”的新定義，考查相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的運算；難點在于找出所有的相似線，不要遺漏．