【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,已知AE、BE分別是BAOABO角的平分線,點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出AEB的大。

(2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是BAPABM的角平分線,又DE、CE分別是ADCBCD的角平分線,點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.

(3)如圖3,延長(zhǎng)BA至G,已知BAO、OAG的角平分線與BOQ的角平分線及延長(zhǎng)線相交于E、F,在AEF中,如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍,試求ABO的度數(shù).

【答案】1AEB的大小不變135°;2CED的大小不變67.5°360°或45°.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知AOB=90°,再由AE、BE分別是BAOABO角的平分線得出BAE=OAB,ABE=ABO,由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;

(2)延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F,根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出AOB=90°,進(jìn)而得出OAB+OBA=90°,故PAB+MBA=270°,再由AD、BC分別是BAPABM的角平分線,可知BAD=BAP,ABC=ABM,由三角形內(nèi)角和定理可知F=45°,再根據(jù)DE、CE分別是ADCBCD的角平分線可知CDE+DCE=112.5°,進(jìn)而得出結(jié)論;

(3))由BAOBOQ的角平分線相交于E可知EAO=BAOEOQ=BOQ,進(jìn)而得出E的度數(shù),由AE、AF分別是BAOOAG的角平分線可知EAF=90°,在AEF中,由一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍分四種情況進(jìn)行分類討論.

解:(1)AEB的大小不變,

直線MN與直線PQ垂直相交于O,

∴∠AOB=90°,

∴∠OAB+OBA=90°,

AE、BE分別是BAOABO角的平分線,

∴∠BAE=OAB,ABE=ABO,

∴∠BAE+ABE=OAB+ABO)=45°,

∴∠AEB=135°;

(2)CED的大小不變.

延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F.

直線MN與直線PQ垂直相交于O,

∴∠AOB=90°,

∴∠OAB+OBA=90°

∴∠PAB+MBA=270°,

AD、BC分別是BAPABM的角平分線,

∴∠BAD=BAP,ABC=ABM

∴∠BAD+ABC=PAB+ABM)=135°,

∴∠F=45°

∴∠FDC+FCD=135°,

∴∠CDA+DCB=225°,

DE、CE分別是ADCBCD的角平分線,

∴∠CDE+DCE=112.5°,

∴∠E=67.5°;

(3)∵∠BAOBOQ的角平分線相交于E,

∴∠EAO=BAO,EOQ=BOQ,

∴∠E=EOQEAO=BOQBAO)=ABO,

AE、AF分別是BAOOAG的角平分線,

∴∠EAF=90°

AEF中,

有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍,故有:

EAF=3E,E=30°,ABO=60°;

EAF=3FE=60°,ABO=120°

F=3E,E=22.5°,ABO=45°;

E=3FE=67.5°,ABO=135°

∴∠ABO為60°或45°.

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