Question

8．如圖，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)點(diǎn)D′落在矩形的對(duì)角線上，DE的長(zhǎng)為1.5或$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先依據(jù)勾股定理可求得AC的長(zhǎng)，然后由翻折的性質(zhì)可求得AD=AD′=3，于是可求得D′C的長(zhǎng)，接下來(lái)，證明△ECD′∽△ADC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得ED′=1.5，由翻折的性質(zhì)可求得DE的長(zhǎng)．

解答 解：如圖所示；連接AC．

∵由翻折的性質(zhì)可知；DE=ED′，AD=AD′=3，∠D=∠ED′A=90°，
∴∠ED′C=90°．
∵在△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=5．
∴CD′=AC-AD′=2．
∵∠ECD′=∠DCA，∠ED′C=∠CDA=90°，
∴△ECD′∽△ADC．
∴$\frac{D′C}{DC}=\frac{ED′}{AD}$即$\frac{2}{4}=\frac{ED′}{3}$，解得；ED′=1.5．
∴DE=1.5．
如圖所示：

∵∠ADO+∠DAO=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠DAO=∠DBA．
∴OD=AD×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$．
∴DE=OD÷$\frac{4}{5}$=$\frac{9}{5}$×$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$．
故答案為：1.5或$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得ED′的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．