Question

9．如圖，⊙M與菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-$\sqrt{3}$），點(diǎn)D在x軸上，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)．
（1）求菱形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）若⊙M沿x軸向右以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，菱形ABCD沿x軸向左以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)菱形移動(dòng)的時(shí)間為t（秒），當(dāng)⊙M與AD相切，且切點(diǎn)為AD的中點(diǎn)時(shí)，連接AC，求t的值及∠MAC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與AC所在的直線的距離為1時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E．由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可知：BE=$\sqrt{3}$，AE=1，依據(jù)勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，從而可求得菱形的周長(zhǎng)；
（2）記⊙M與x軸的切線為F，AD的中點(diǎn)為E．先求得EF的長(zhǎng)，然后根據(jù)路程=時(shí)間×速度列出方程即可；平移的圖形如圖3所示：過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，連接MF，F(xiàn)為⊙M與AD的切點(diǎn)．由特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠EAB=60°，依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到∠FAC=60°，然后證明△AFM是等腰直角三角形，從而可得到∠MAF的度數(shù)，故此可求得∠MAC的度數(shù)；
（3）如圖4所示：連接AM，過點(diǎn)作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．先求得∠MAE=30°，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到AE的長(zhǎng)，然后依據(jù)3t+2t=5-AE可求得t的值；如圖5所示：連接AM，過點(diǎn)作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．依據(jù)菱形的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理可求得∠MAE=60°，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，最后依據(jù)3t+2t=5+AE．列方程求解即可．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E．

∵B（1，-$\sqrt{3}$），A（2，0），
∴BE=$\sqrt{3}$，AE=1．
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC=CD=AD．
∴菱形的周長(zhǎng)=2×4=8．
（2）如圖2所示：⊙M與x軸的切線為F，AD的中點(diǎn)為E．

∵M(jìn)（-3，1），
∴F（-3，0）．
∵AD=2，且E為AD的中點(diǎn)，
∴E（3，0）．
∴EF=6．
∴2t+3t=6．
解得：t=$\frac{6}{5}$．
平移的圖形如圖3所示：過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，連接MF，F(xiàn)為⊙M與AD的切點(diǎn)．

∵由（1）可知；AE=1，BE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠EAB=$\sqrt{3}$．
∴∠EAB=60°．
∴∠FAB=120°．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠FAB=$\frac{1}{2}$×120°=60°．
∵AD為⊙M的切線，
∴MF⊥AD．
∵F為AD的中點(diǎn)，
∴AF=MF=1．
∴△AFM為等腰直角三角形．
∴∠MAF=45°．
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=45°+60°=105°．
（3）如圖4所示：連接AM，過點(diǎn)作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．

∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=120°，
∴∠DAC=60°．
∵AC、AD是圓M的切線，
∴∠MAE=30°．
∵M(jìn)E=MN=1，
∴EA=$\sqrt{3}$．
∴3t+2t=5-$\sqrt{3}$．
∴t=1-$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
如圖5所示：連接AM，過點(diǎn)作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．

∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=120°，
∴∠DAC=60°．
∴∠NAE=120°．
∵AC、AD是圓M的切線，
∴∠MAE=60°．
∵M(jìn)E=MN=1，
∴EA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴3t+2t=5+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴t=1+$\frac{\sqrt{3}}{15}$．
綜上所述當(dāng)t=1-$\frac{\sqrt{3}}{5}$或t=1+$\frac{\sqrt{3}}{15}$時(shí)，圓M與AC相切．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、菱形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值、勾股定理的應(yīng)用根據(jù)題意列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．