Question

已知一拋物線的頂點A的坐標是（2，9），并且拋物線與x軸兩交點間的距離為6．
（1）試求該拋物線的關(guān)系式；
（2）若點B（n，5）在此拋物線上，且點B在第一象限，求以點A、B和坐標原點O為頂點的△OAB面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）已知了拋物線的對稱軸方程和拋物線與x軸兩交點間的距離，可求出拋物線與x軸兩交點的坐標；然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中的拋物線解析式得到點B的坐標，然后利用三角形的面積公式來求△OAB面積．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)的頂點坐標（2，9），并且圖象與x軸兩交點間距離為6，
∴二次函數(shù)圖象與x軸兩交點坐標為（-1，0）與（5，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-5），
把（2，9）代入，得
9=a（2+1）（2-5），
解得 a=-1．
故拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-5）或y=-x²+4x+5．

（2）設(shè)直線x=2與直線OB交于點D．
由（1）知，拋物線的解析式為：y=-x²+4x+5．
把點B（n，5）代入，得
5=-n²+4n+5，即n（n-4）=0，
解得 n₁=0，n₂=4．
∵點B（n，5）在此拋物線上，且點B在第一象限，
∴B（4，5）．
易求直線OB的解析式為：y=

5

4

x．
把x=2代入得到：y=

5

2

，
∴AD=9-

5

2

=

13

2

．
∴S_△OAB=

1

2

AD•x_B=

1

2

×

13

2

×4=13，即△OAB面積是13．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．求二次函數(shù)解析式時，也可以設(shè)頂點式方程來解答．