Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，連接AD，E為AB上一點，過E作EF∥BC交AD于F．
（1）求證：EF=AF．
（2）若H為EC的中點，連接FH、DH，求證：DH⊥FH．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=BD=CD，再根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠BAD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠B=∠AEF，從而得到∠AEF=∠BAD，再根據(jù)等角對等邊可得EF=AF；
（2）延長FH交BC于G，根據(jù)線段中點的定義可得EH=CH，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠FEH=∠GCH，然后利用“角邊角”證明△EFH和△CGH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得FH=GH，EF=CG，再求出DF=DG，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的證明即可．

解答：證明：（1）∵∠BAC=90°，D為BC的中點，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠AEF，
∴∠AEF=∠BAD，
∴EF=AF；

（2）如圖，延長FH交BC于G，
∵H為EC的中點，
∴EH=CH，
∵EF∥BC，
∴∠FEH=∠GCH，
在△EFH和△CGH中，

∠FEH=∠GCH EH=CH ∠EHF=∠CHG

，
∴△EFH≌△CGH（ASA），
∴FH=GH，EF=CG，
∵EF=AF=CG，AD=CD，
∴AD-AF=CD-CG，
即DF=DG，
又∵DF=DG，F(xiàn)H=GH，
∴DH⊥FH．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（2）難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形．