Question

3．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120，BC=6cm，線段AB垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN=2cm．

Answer 1

分析 作輔助線，構建等腰三角形ABM和直角三角形AMC，由等腰△ABC和∠A=120得兩底角為30°，再由垂直平分線的性質得AM=BM，從而依次求得∠MAB=30°和∠MAC=90°，根據30°所對的直角邊是斜邊的一半及中位線定理的推論得AM=BM=MN=NC，則可知所求的MN=$\frac{1}{3}$BC，代入得結論．

解答 解：如圖，連接AM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵ME是線段AB的垂直平分線，
∴AM=BM，
∴∠MAB=∠B=30°，
∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=120°-30°=90°，
在Rt△MAC中，∠C=30°，
∴MC=2AM，
∵FN是AC的垂直平分線，
∴∠NFC=90°，AF=FC，
∴∠NFC=∠MAC=90°，
∴AM∥FN，
∴MN=NC=$\frac{1}{2}$MC，
∴AM=BM=MN=NC，
∴MN=$\frac{1}{3}$BC，
∵BC=6cm，
∴MN=2cm．

點評 本題考查了等腰三角形的性質、判定及線段垂直平分線的性質；熟練掌握等腰三角形和垂直平分線的性質，如果已知中有垂直平分線，則考慮利用垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等進行證明或連接輔助線；本題還利用了中位線的推論：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊，或利用平行線分線段成比例定理得出MN=NC，使問題得以解決．