Question

如圖，在等邊△ABC中，BC=8，D為AB中點，點E在BC上，點F在AC上，滿足AF=3CF，DE平分∠BDF，則BE=

 

．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：過D作DG⊥AC，EM⊥BD，EN⊥DF，F(xiàn)H⊥BC，根據(jù)等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，通過解直角三角形求得DG=2

3

，AF=6，CF=2，DF=2

7

，設(shè)BE=x，進(jìn)一步求得EM=EN=

3

2

x，F(xiàn)H=

3

，CE=8-x，根據(jù)S_△ABC=S_△ADF+S_△BED+S_△DEF+S_△EFC得出關(guān)于x的方程，解方程即可求得BE的長．

解答：解：如圖，過D作DG⊥AC，EM⊥BD，EN⊥DF，F(xiàn)H⊥BC，
∵AB=BC=CA，BD=AD，AF=3CF，AB=8，
∴DG=2

3

，AF=6，CF=2，
∴DF=2

7

，
∵∠BDE=∠PDE，EM⊥BD，EN⊥DF，
∴EM=EN，
設(shè)BE=x，
∵∠B=∠C=60°，
∴EM=EN=

3

2

x，F(xiàn)H=

3

，CE=8-x，
∴S_△ABC=S_△ADF+S_△BED+S_△DEF+S_△EFC=

1

2

×6×2

3

+

1

2

×4×

3

2

+

1

2

×2

7

×

3

2

+

1

2

（8-x）•

3

=

1

2

×8×8×

3

2

，
∴x=2

7

-2，
即BE=2

7

-2．
故答案為2

7

-2．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及解直角三角形，三角形的面積公式的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是關(guān)鍵．