Question

13．在直角坐標系xOy中，定義點C（a，b）為拋物線L：y=ax²+bx（a≠0）的特征點坐標．
（1）已知拋物線L經過點A（-2，-2）、B（-4，0），求出它的特征點坐標；
（2）若拋物線L₁：y=ax²+bx的位置如圖所示：
①拋物線L₁：y=ax²+bx關于原點O對稱的拋物線L₂的解析式為y=-ax²+bx；
②若拋物線L₁的特征點C在拋物線L₂的對稱軸上，試求a、b之間的關系式；
③在②的條件下，已知拋物線L₁、L₂與x軸有兩個不同的交點M、N，當一點C、M、N為頂點構成的三角形是等腰三角形時，求a的值．

Answer 1

分析 （1）結合點A、B點的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線L的函數解析式，再結合特征點的定義，即可得出結論；
（2）①由拋物線L₁：y=ax²+bx與拋物線L₂關于原點O對稱，可將y換成-y，將x換成-x，整理后即可得出結論；
②根據拋物線L₂的解析式可找出它的對稱軸為：x=$\frac{2a}$，由拋物線L₁的特征點C在拋物線L₂的對稱軸上可得出a=$\frac{2a}$，變形后即可得出結論；
③結合②的結論，表示出點C、M、N三點的坐標，由兩點間的距離公式可得出MN、MC、NC的長度，結合等腰三角形的性質分三種情況考慮，分別根據線段相等得出關于a的一元四次方程，解方程再結合a的范圍即可得出a的值．

解答 解：（1）將點A（-2，-2）、B（-4，0）代入到拋物線解析式中，
得$\left\{\begin{array}{l}{-2=4a-2b}\\{0=16a-4b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線L的解析式為y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x，
∴它的特征點為（$\frac{1}{2}$，2）．
（2）①∵拋物線L₁：y=ax²+bx與拋物線L₂關于原點O對稱，
∴拋物線L₂的解析式為-y=a（-x）²+b（-x），即y=-ax²+bx．
故答案為：y=-ax²+bx．
②∵拋物線L₂的對稱軸為直線：x=-$\frac{2×（-a）}$=$\frac{2a}$．
∴當拋物線L₁的特征點C（a，b）在拋物線L₂的對稱軸上時，有a=$\frac{2a}$，
∴a與b的關系式為b=2a²．
③∵拋物線L₁、L₂與x軸有兩個不同的交點M、N，
∴在拋物線L₁：y=ax²+bx中，令y=0，即ax²+bx=0，
解得：x₁=-$\frac{a}$，x₂=0（舍去），
即點M（-$\frac{a}$，0）；
在拋物線L₂：y=-ax²+bx中，令y=0，即-ax²+bx=0，
解得：x₁=$\frac{a}$，x₂=0（舍去），
即點N（$\frac{a}$，0）．
∵b=2a²，
∴點M（-2a，0），點N（2a，0），點C（a，2a²）．
∴MN=2a-（-2a）=4a，MC=$\sqrt{[a-（-2a）]^{2}+4{a}^{4}}$，NC=$\sqrt{（a-2a）^{2}+4{a}^{4}}$．
因此以點C、M、N為頂點的三角形是等腰三角形時，有以下三種可能：
（i）MC=MN，此時有：$\sqrt{[a-（-2a）]^{2}+4{a}^{4}}$=4a，即9a²+4a⁴=16a²，
解得：a=0，或a=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（ii）NC=MN，此時有：$\sqrt{（a-2a）^{2}+4{a}^{4}}$=4a，即a²+4a⁴=16a²，
解得：a=0，或a=±$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{15}}{2}$；
（iii）MC=NC，此時有：$\sqrt{[a-（-2a）]^{2}+4{a}^{4}}$=$\sqrt{（a-2a）^{2}+4{a}^{4}}$，即9a²=a²，
解得：a=0，
又∵a＜0，
∴此情況不存在．
綜上所述：當以點C、M、N為頂點的三角形是等腰三角形時，a的值為-$\frac{\sqrt{7}}{2}$或-$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

點評 本題考查了利用待定系數法求二次函數解析式、二次函數的性質、等腰三角形的性質以及解一元高次方程，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求二次函數解析式；（2）①明白關于原點對稱點的特征；②利用二次函數的性質找出對稱軸關系式；③分情況討論求值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，首先根據特征點的定義找出a、b之間的關系，再結合兩點間的距離公式以及等腰三角形的性質找出關于a的一元高次方程，解方程即可得出結論．