Question

如圖1，已知O是銳角∠XAY的邊AX上的動點，以點O為圓心、R為半徑的圓與射線AY切于點B，交射線OX于點C．連結(jié)BC，作CD⊥BC，交AY于點D．

(1)求證：△ABC∽△ACD；

(2)   若P是AY上一點，AP=4，且sinA=，

① 如圖2，當(dāng)點D與點P重合時，求R的值；

② 當(dāng)點D與點P不重合時，試求PD的長(用R表示)．

Answer 1

 (1) 由已知，CD⊥BC，∴ ∠ADC=90°∠CBD，

又∵ ⊙O切AY于點B，∴ OB⊥AB，∴∠OBC=90°∠CBD，

∴ ∠ADC=∠OBC．又在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADC．

又∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD ．

(2) 由已知，sinA=，又OB=OC=R，OB⊥AB，

∴ 在Rt△AOB中，AO===R，AB==R，

∴ AC=R+R=R ．

由(1)已證，△ABC∽△ACD，∴ ，

∴，因此 AD=R．

① 當(dāng)點D與點P重合時，AD=AP=4，∴R=4，∴R=．

② 當(dāng)點D與點P不重合時，有以下兩種可能：

i) 若點D在線段AP上(即0<R<)，PD=APAD=4R；

ii) 若點D在射線PY上(即R>)，PD=ADAP=R4．

綜上，當(dāng)點D在線段AP上(即0<R<)時，PD=4R；當(dāng)點D在射線PY上(即R>)時，PD=R4．又當(dāng)點D與點P重合(即R=)時，PD=0，故在題設(shè)條件下，總有PD=|R4|(R>0)．