Question

如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A，C分別在DG、DE上，連接AE、BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你得到的結(jié)論；
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據(jù)邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）連接AD，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進(jìn)而可得BG=AE．

解答：解：（1）BG=AE．理由如下：
如圖①，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
點D是BC的中點，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中，

BD=AD   ∠BDG=∠ADE   DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（2）證明：連接AD，
∵Rt△BAC中，D為斜邊BC的中點，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△ADE中，

BD=AD  ∠BDG=∠ADE  GD=ED

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)．解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．