Question

【題目】如圖，Rt△AOB的直角邊OA在x軸上，OA=2，AB=1，將Rt△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△COD，拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過B、D兩點．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）連接BD，點P是拋物線上一點，直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Rt△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△COD，

∴CD=AB=1、OA=OC=2，

則點B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：

，

解得： ，

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+

（2）解：如圖，

∵直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分，且OB=OD，

∴DQ=BQ，即點Q為BD的中點，

∴點Q坐標為（ ， ），

設(shè)直線OP解析式為y=kx，

將點Q坐標代入，得： k= ，

解得：k=3，

∴直線OP的解析式為y=3x，

代入y=﹣ x2+ x+ ，得：﹣ x2+ x+ =3x，

解得：x=1或x=﹣4，

當x=1時，y=3，

當x=﹣4時，y=﹣12，

∴點P坐標為（1，3）或（﹣4，﹣12）

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)線段相等，求出B、D坐標，代入解析式即可;（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OB=OD，直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分，可得DQ=BQ，即點Q為BD的中點；中點坐標公式是中點橫縱坐標分別是端點橫縱坐標和的一半，可求出Q的坐標，求出OQ的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可求得坐標.