Question

如圖，在銳角三角形ABC中，，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與，重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形DEFG.

（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；

（2）設(shè)DE = x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出x的取值范圍，并求出y的最大值.

Answer 1

解：（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，如圖

（1），過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M.

∵S_△ABC=48，BC=12，∴AM=8.

∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,

∴，

而AN=AM－MN=AM－DE，∴. 

解之得.

∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為4.8.…3分

 

（2）分兩種情況：

①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，如圖（2），△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，∵DE=x，∴，此時(shí)x的范圍是≤4.8

 

②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，

如圖（2），設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q，EF與BC交于點(diǎn)P，

△ABC的高AM交DE于N，

∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,

即，而AN=AM－MN=AM－EP,

∴，解得.

所以,  即.

由題意，x>4.8，x<12,所以.

因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為

(0< x≤4.8)

   

當(dāng)≤4.8時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為4.8²=23.04

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，所以當(dāng)時(shí)，

△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為.

因?yàn)?4>23.04，

所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24.