Question

超市市場部整理出銷售某品牌新款童裝的銷售量與銷售單價的相關信息如下：

已知該童裝的進價為每件60元，設銷售單價為x元，銷售單價不低于進價，且獲利不得高于45%，設銷售該款童裝的利潤為W元．

（1）求利潤W與銷售單價x之間的關系式，并求銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

（2）若超市銷售該款童裝獲得的利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)的應用．

【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關系式y(tǒng)=﹣x+120；再根據(jù)總利潤等于每一件的利潤乘以銷售總量得到W=（x﹣60）•y，把y=﹣x+120代入得到W=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x²+180x﹣7200（60≤x≤87）；然后配成頂點式為W=﹣（x﹣90）²+900，根據(jù)二次函數(shù)的性質得到當x＜90時，W隨x的增大而增大，則x=87時，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）²+900=891；

（2）令W=500，則﹣（x﹣90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，而當x＜90時，W隨x的增大而增大，即可得到當銷售單價的范圍為70（元）≤x≤87（元）時，該商場獲得利潤不低于500元．

【解答】解：（1）設銷售量為y件，由圖象知銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），

根據(jù)題意得，

解得，解得，

∴y=﹣x+120；

∴W=（x﹣60）•y

=（x﹣60）（﹣x+120）

=﹣（x﹣90）²+900，

∵拋物線開口向下，

∴當x＜90時，W隨x的增大而增大，

又∵60≤x≤60（1+45%），即60≤x≤87，

∴x=87時，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）²+900=891，

即銷售單價定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元；

（2）令W=500，則﹣（x﹣90）²+900=500，

解得x₁=70，x₂=110，

∵當x＜90時，W隨x的增大而增大，

∴要使超市銷售該款童裝獲得的利潤不低于500元，銷售單價應在70元到110元之間，而60≤x≤87，

∴銷售單價x的范圍為70≤x≤87．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用：先根據(jù)實際問題得到二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0），再得到頂點式y(tǒng)=a（x+）²+，當a＜0，二次函數(shù)有最大值，即x=﹣時，y的最大值為，然后利用二次函數(shù)的性質解決有關問題．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的應用．