Question

8．已知⊙O的直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ于點P．
（Ⅰ）如圖1，當(dāng)PQ∥AB時，求PQ的長度；
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)點P在BC上移動時，求PQ長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖1連接OQ，首先求出OP，再在Rt△OPQ中，利用勾股定理解決問題．
（Ⅱ）如圖2連接OQ，當(dāng)OP⊥BC時，求Q長的最大，根據(jù)勾股定理即可解決問題．

解答 解：（Ⅰ）如圖1中，連接OQ．
在Rt△POB中，∵OB=3，∠PBO=30°，∠POB=90°，
∴OP=OB•tan30°=$\sqrt{3}$，
在Rt△OQP中，PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{9-3}$=$\sqrt{6}$．

（Ⅱ）如圖2中連接OQ，當(dāng)OP⊥BC時，PQ長的最大．
此時OP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，
在Rt△OPQ中，PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓的有關(guān)知識、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．