Question

【題目】如圖，正方形中，為邊上任意點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；

（2）在（1）的條件下，求證：；

（3）如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊，即可得到結(jié)論成立；

（2）利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD=CG，據(jù)此知CG=BC=BE+CE，根據(jù)EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得證；

（3）連接DG，證△ADF≌△DCG得∠CDG=∠DAF，再證△AFH∽△DFG得，結(jié)合∠AFD=∠HFG，知△ADF∽△HGF，從而得出∠ADF=∠FGH，根據(jù)∠ADF=90°即可得證．

解：（1）∵AD∥CG，

∴∠DAF＝∠G，

又∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF＝∠EAF，

∴∠G＝∠EAF，

∴EA＝EG，

（2）∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，

∴CF＝DF，

又∵∠DFA＝∠CFG，∠FAD＝∠G，

∴△ADF≌△GCF（AAS），

∴AD＝CG，

∴CG＝BC＝BE+CE，

∴EG＝BE+CE+CE＝BE＝2CE＝AE；

（3）如圖所示，連接DG，

∵CG＝DF，DC＝DA，∠ADF＝∠DCG，

∴△ADF≌△DCG（SAS），

∴∠CDG＝∠DAF，

∴∠HAF＝∠FDG，

又∵∠AFH＝∠DFG，

∴△AFH∽△DFG，

∴，

又∵∠AFD＝∠HFG，

∴△ADF∽△HGF，

∴∠ADF＝∠FGH，

∵∠ADF＝90°，

∴∠FGH＝90°，

∴AG⊥GH．