Question

【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．

【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：
S_梯形ABCD=

 

，
S_△EBC=

 

，
S_{四邊形AECD}=

 

，
則它們滿足的關(guān)系式為

 

，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．
【知識運(yùn)用】（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為

 

千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應(yīng)站P，使得PC=PD，請用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．
【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式

x2+9

+

(16-x)2+81

的最小值（0＜x＜16）

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,勾股定理的證明

專題：

分析：【小試牛刀】根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出．
【知識運(yùn)用】（1）連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，從而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．
（2）連接CD，作CD的垂直平分線角AB于P，P即為所求；設(shè)AP=x千米，則BP=（40-x）千米，分別在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通過PC=PD建立方程，解方程即可．
【知識遷移】根據(jù)軸對稱-最短路線的求法即可求出．

解答：解：【小試牛刀】
答案為：

1

2

a（a+b），

1

2

b（a-b），

1

2

c²，

1

2

a（a+b）=

1

2

b（a-b）+

1

2

c²．
【知識運(yùn)用】（1）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，

∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=24-16=8千米，
∴CD=

DE2-CE2

=

82+402

=8

26

千米，
∴兩個村莊相距8

26

千米．
故答案為8

26

．
（2）如圖2②所示：

設(shè)AP=x千米，則BP=（40-x）千米，
在Rt△ADP中，DP²=AP²+AD²=x²+24²，
在Rt△BPC中，CP²=BP²+BC²=（40-x）²+16²，
∵PC=PD，
∴x²+24²=（40-x）²+16²，
解得x=16，
即AP=16千米．
【知識遷移】：如圖3，

代數(shù)式

x2+9

+

(16-x)2+81

的最小值為：

(9+3)2+162

=20．

點(diǎn)評：本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱-最短路線問題以及線段的垂直平分線等，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法．